ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

E-mail

В золотом сечении меньшая часть (минор —m) относится к большей части (мажор—М), как большая часть к сумме обеих частей, т.е. m:М = М :(М + m)

Такому отношению соответствует отношение стороны правильного десятиугольника к радиусу описанной окружности (рис. 1). Десятиугольник образует, таким образом, геометрический ряд размеров, связанных между собой отношениями золотого сечения (рис. 2).

Подробные и очень точные исследования и расчеты Эрнста Месселя показали, что большая часть классических сооружений подчинена отношениям золотого сечения.
Пятиугольнику (рис. 3), или пентаграмме, также свойственны отношения размеров в золотом сечении. Однако эти свойства не получили пока достаточного практического применения.

nf_28_01.jpg  

1. Десятиугольник
2. Десятиугольник
3. Пятиугольник
4. Пятиугольник с отношениями сторон в золотом сечении

Хорошими пропорциями обладает прямоугольник с отношением сторон в золотом сечении (рис. 4). Вписанному в круг прямоугольнику, стороны и диагональ которого образуют треугольник Пифагора, свойственны отношения 1:2:3:5:8 и т.д., близкие к отношениям золотого сечения (рис. 5). Равносторонний треугольник или шестиугольник является, как показал на ряде примеров Дегио, основой принятых в готической архитектуре пропорций, что однако не всегда подтверждается точными проверочными расчетами (рис. 6). Равнобедренный прямоугольный треугольник с отношением  высоты к основанию 1 : 2 (половина квадрата) широко применяется в качестве основы построения пропорций. Равнобедренный треугольник, в котором основание и высота соответствуют стороне квадрата, с успехом использован зодчим Кнаутом при назначении пропорций собора в Страсбурге.

nf_28_04.jpgРавнобедренный треугольник, построенный на основе отношения π/4, имеет в вершине более острый угол, чем приведенные выше треугольники: положение его вершины определяется положением верхнего угла, вписанного в круг квадрата с вертикальной диагональю. Его пропорции с успехом применялись автором этого предложения А. Драхом для назначения размеров строительных деталей и отдельных предметов.

Исследования Л. Р. Шпитценпфайля показали, что наряду   с приведёнными выше фигурами в ряде древних сооружений применялись пропорции, основанные на восьмиугольнике. Основой пропорций является так называемый диагональный треугольник. Высота такого треугольника равна диагонали квадрата со сторонами, равными половине основания треугольника (рис. 8, а - б).

В построенном таким путем треугольнике (рис. 8, г) отношение сторон к основанию составляет 1 : √2. Все треугольники, полученные путём деления пополам или удвоения вышеназванного треугольника, сохраняют то же соотношение сторон 1 : √2.

nf_28_02.jpg 5. Вписанный прямоугольник, заштрихованная часть которого представляет собой треугольник Пифагора.
6. Шестиугольник из двух равносторонних треугольников
7. Треугольник, построенный на основе отношения π/4 (по А. Драху)

 

Поэтому такое отношение сторон было положено Порстманом в основу стандартов DIN на форматы бумаги (рис. 8, г, и далее). Геометрические ряды размеров с этим соотношением образованы отношениями сторон квадратов, последовательно вписанных в восьмиугольники, как это показано на рис. 8, а. б, в. Графическое изображение значений квадратного корня из целых чисел от 1 до 7 дано на рис. 8, д.

nf_28_03.jpg 8. Квадраты, вписанные в восьмиугольник

 


Эрнст Нойферт. «Строительное проектирование» / Ernst Neufert "BAUENTWURFSLEHRE"